Manuale di Dr. Geo -- Teoremi e congetture

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## Teoremi e congetture

Gli script Guile permettono, altre alla soluzione di esercizi vista sopra, di comprendere con maggiore profondità gli enunciati di teoremi e di verificare congetture.

In questa sezione iniziamo analizzando, a titolo di esempio, il teorema di Tolomeo:

Dato un quadrilatero inscritto in una circonferenza la somma dei prodotti dei lati opposti è uguale al prodotto delle diagonali.

Possiamo facilmente disegnare la figura con DR. GEO ottenendo:

Teorema di Tolomeo: quadrilatero convesso

dove sono anche stati implementati due script che calcolano rispettivamente la somma dei prodotti dei lati opposti del quadrilatero e il prodotto delle diagonali. Lo script per il calcolo della somma dei prodotti dei lati opposti è il seguente

    (define AB (getLength a1))
    (define DC (getLength a2))
    (define BC (getLength a3))
    (define AD (getLength a4))
    (+ (* AB DC )(* BC AD ))

mentre lo script per il calcolo del prodotto delle diagonali è:

    ( define DB (getLength a1))
    ( define AC (getLength a2))
    ( * DB AC )

Come si vede i valori restituiti dagli script, in accordo con il teorema di Tolomeo, coincidono. Se modifichiamo dinamicamente la figura gli script continuano a concidere a meno che non ci si imbatta nella seguente situazione:

Teorema di Tolomeo: quadrilatero non convesso

ossia quando il quadrilatero perde la convessità.

In questo caso il teorema non vale e quindi l'enunciato precedente non è stato ben formulato e andrebbe precisato meglio scrivendolo come segue:

Dato un quadrilatero CONVESSO inscritto in una circonferenza la somma dei prodotti dei lati opposti è uguale al prodotto delle diagonali.

A questo punto potrebbe venire spontanea la seguente congettura: il teorema di Tolomeo rimane valido per un quadrilatero convesso non inscritto in una circonferenza?

Con DR. GEO possiamo verificare immediatamente la falsità di questa congettura come mostrato in figura:

Falsifichiamo una congettura

Il lettore non avrà difficoltà ad utilizzare il programma per costruire esempi didattici, magari più conosciuti, relativamente ai teoremi di Pitagora e di Euclide.

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