Manuel utilisateur de Dr. Geo -- Nombre irrationnel

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## Nombre irrationnel

Une construction classique, relative au nombre irrationnel, connue sous le nom de spirale de Teodoro, permet de construire géométriquement la racine carrée de nombres entiers à partir d'un triangle rectangle isocèle.

Considérons le triangle OAB où OA=1 :

Construction de la racine de 2

Par le théorème de Pythagore nous avons OB égale à la racine carrée de 2. Si maintenant, avec la figure, nous construisons un nouveau triangle rectangle en B, avec les côtés OB et BC tel que BC=1.

Construction de la racine 3

Toujours par le théorème de Pythagore, il est clair que l'hypothénuse OC de OBC a pour longueur la racine carrée de 3. En itérant le processus précédent à l'infini nous obtenons toutes les racines carrées des nombres naturels.

La nature itérative de la construction s'adapte parfaitement à l'utilisation des FSD. Considérons alors le code suivant :

    (new-figure "Triangle")

    (define (triangle p1 p2 p3 n)
      (let* ((s1 (Segment "" extremities    p1 p2))
             (s2 (Segment "" extremities    p2 p3))
             (s3 (Segment "" extremities    p3 p1))
             (pe (Line    "" orthogonal     p3 s3))
             (ci (Circle  "" center-segment p3 s2))
             (p4 (Point   "" intersection2  pe ci)))
        (send pe masked)
        (send ci masked)
        (send p4 masked)
        (if (> n 0)
           (triangle p1 p3 p4 (- n 1)))))

    (lets Point "O" free  0  0)
    (lets Point "A" free -1  0)
    (lets Point "B" free -1  1)
    (triangle O A B 15)

Le triangle du début est défini à travers les coordonnées seulement par commodité. Le code est la transcription littérale de la procédure itérative décrite précédement. Une fois évalué par DR. GEO le code donne la figure suivante :

Spirale de Teodoro

Les hypothénuses de chaque triangle ont pour longueur les racines carrées des nombres entiers naturels compris entre 2 et 17.

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