Manuel utilisateur de Dr. Geo -- Théorème et conjectures

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## Théorème et conjectures

Les scripts Scheme permettent de résoudre des exercices mais aussi de comprendre de façon plus approfondie l'énonciation des théorèmes et de vérifier des conjectures.

Dans cette section nous commençons par analyser le théorème de Tolomeo :

Étant donné un quadrilatère inscrit dans un cercle la somme du produit des côtés opposés est égale au produit des diagonales.

Nous pouvons construire la figure avec DR. GEO comme ci-dessous

Théorème de Tolomeo: quadrilatère convexe

où nous avons implémenté deux scripts qui calculent respectivement la somme du produit des côtés opposés et le produit des diagonales.

Le premier script est le suivant :

    (define AB (getLength a1))
    (define DC (getLength a2))
    (define BC (getLength a3))
    (define AD (getLength a4))
    (+ (* AB DC )(* BC AD ))

Le second script est :

    (define DB (getLength a1))
    (define AC (getLength a2))
    (* DB AC )

Comme nous pouvons le voir les valeurs retournées par les deux scripts, en accord avec le théorème de Tolomeo, sont les mêmes16. Lorsque nous modifions dynamiquement la figure, les valeurs des scripts sont toujours identiques, sauf dans la situation suivante :

Théorème de Tolomeo: quadrilatère non convexe

où le quadrilatère perd sa convexité.

Dans ce cas le théorème n'est pas vrai et l'énoncé précédent n'est pas bien énoncé, il doit donc être reformulé comme ci-dessous :

Étant donné un quadrilatère CONVEXE inscrit dans un cercle la somme du produit des côtés opposés est égale au produit des diagonales.

À ce stade les conjectures apparaîssent naturellement : est-ce que le théorème de Tolomeo est valide pour un quadrilatère convexe non inscrit dans un cercle ?

Avec DR. GEO nous pouvons vérifier que cette conjecture est fausse comme le montre la figure suivante :

Réfutation de la conjecture

Le lecteur n'aura pas de difficulté à utiliser DR. GEO dans la construction d'exemples didactiques, probablement plus connus, relativement aux théorèmes de Pythagore et d'Euclide.

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